Question

线性代数中增广矩阵的秩一定大于等于系数矩阵的秩吗

Answer 1

增广矩阵(A,b)比系数矩阵A多一列，所以r(A)≤r(A,b)≤r(A)+1。

若A是m×n矩阵，r(A)=n，则非齐次方程组Ax=b （A）

A、可能有解；B、一定有唯一解；C、一定无解；D、一定有无穷多解。

只能得到n≤r(A)≤n+1，那么r(A,b)=n与r(A,b)=n+1皆有可能。若r(A,b)=n，则r(A)=r(A,b)=n，方程组Ax=b有唯一解。若r(A,b)=n+1，则方程组Ax=b无解。

矩阵的秩：

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

Answer 2

是对的
R(A)<R(A,b) n元线性方程组无解
R(A)=R(A,b)=n n元线性方程组有唯一解
R(A)=R(A,b)<n n元线性方程组有无限多解
祝学习愉快，可追问，望采纳~
化学一加一团队

Answer 3

absolutely是的

追问

设矩阵Am*n的秩r（A）=n，则非齐次线性方程组Ax=b的解的情况，可能有解 ，一定有唯一解 ，一定无解， 一定有无穷多解，选哪个呀？

追答

r（A）=n说明m>=n，就是未知数少于方程数，可能有解

追问

r（A）=n说明增广矩阵也得秩也等于n呀，那就是有唯一解呀？这个哪点错了呀

追答

r（A）=n说明增广矩阵也得秩也等于n？这是不正确的，也有可能n+1

Answer 4

增广矩阵(A,b)比系数矩阵A多一列，所以r(A)≤r(A,b)≤r(A)+1。

若A是m×n矩阵，r(A)=n，则非齐次方程组Ax=b （A）
A、可能有解；B、一定有唯一解；C、一定无解；D、一定有无穷多解。
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只能得到n≤r(A)≤n+1，那么r(A,b)=n与r(A,b)=n+1皆有可能。若r(A,b)=n，则r(A)=r(A,b)=n，方程组Ax=b有唯一解。若r(A,b)=n+1，则方程组Ax=b无解。