Question

已知cosα+cosβ=a,sinα+sinβ=b,且0<a的平方+b的平方≤4,求sin(α+β)的值。 求大神解析

Answer 1

三角函数中有一群公式叫和差化积
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
当然于此对应的还有一群公式叫积化和差，这里不再介绍，这些公式虽然难记忆，但都非常好证明和利用，这里我们第一个和第三个便可得到
a=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
b=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
b/a=tan[(α+β)/2] （a不等于0时）
sin(α+β)
=2sin[(α+β)/2]*cos[(α+β)/2]
=2sin[(α+β)/2]*cos[(α+β)/2] / (sin²[(α+β)/2]+cos²[(α+β)/2])
=2tan[(α+β)/2] / (tan²[(α+β)/2]+1)
=2ab/(a²+b²)

追问

那为什么要给出a²和b²的范围 ？

追答

我觉得这个范围只是随便给给的吧，本身a²+b²显然就大于0，而4也很容易证明是它的上限，