Question

已知函数f(x)=sin²x+根号3sinxsin(x+½π)，求： 1.f（x）的最小正周期

（3）f（x）在区间【0，½π】上的取值范围

Answer 1

f(x)=sin²x+根号3sinxsin(x+½π)
=(1-cos2x)/2+√3sinxcosx
=-1/2cos2x+√3/2sin2x+1/2
=sin(2x-π/6)+1/2
最小正周期T=2π/2=π
f（x）在区间【0，½π】上的取值范围

因为x∈[0,π/2]
则2x∈[0,π]
则2x-π/6∈[-π/6,5π/6]
所以根据三角函数的性质知
2x-π/6=π/2 时，有最大值为 3/2
2x-π/6=-π/6 时，有最小值为0
所以f(x)的取值范围为[0,3/2]

Answer 2

①f(x)=sin²x+根号3sinxsin(x+½π)
=(1-cos2x)/2+√3sinxcosx
=-1/2cos2x+√3/2sin2x+1/2
=sin(2x-π/6)+1/2
∴最小正周期T=2π/2=π

②∵x∈[0,π/2]
∴2x∈[0,π]
∴2x-π/6∈[-π/6,5π/6]
根据三角函数的性质知
当2x-π/6=π/2 时，ymax=3/2
当2x-π/6=-π/6 时，ymin=0
∴f(x)的取值范围为[0,3/2]