Question

已知函数f(x)=sinx+(根号3)cosx,x∈R

（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）若f（α-π/3）=6/5，α∈（0，π/2），求f（2α-π/3）的值

Answer 1

(1)
f(x) = 2[(sinx)*1/2 + (cosx)(√3/2)]
= 2[(sinx)cos(π/3) + (cosx)sin(π/3)]
= 2sin(x + π/3)
最小正周期2π

(2)
f(α-π/3) = 2sin(α-π/3 + π/3) = 2sinα = 6/5
sinα = 3/5
α∈ (0，π/2), cosα = 4/5
f(2α - π/3) = 2sin[(2α- π/3) + π/3)] = 2sin(2α) = 4sinαcosα = 4*(3/5)*(4/5) = 48/25

Answer 2

解：（1）f(x)=sinx＋根号3cosx=2(1/2sinx＋根号3/2cosx)=2(cos60sinx＋sin60cosx)=2sin(x＋60)，所以函数f(x)的最小正周期为T=2pi/1=2pi；（2）因为f(a-pi/3)=2sin(a－60＋60)=6/5，所以sina=3/5，因为a在第一象限角，所以cosa=4/5，所以f(2a-pi/3)=2sin2a=2×2sinacosa=2×2×3/5×4/5=48/25。

Answer 3

f(x)=sinx+√3cosx=2(1/2sinx+√3/2cosx)=2sin(x+π/3)
最小正周期T=2π/1=2π
若f（α-π/3）=6/5
则2sin(α-π/3+π/3）=2sinα=6/5 sinα=3/5
而α∈（0，π/2）
则2α∈（0，π），则sin2α>0
所以cosα=√(1-sin^2α)=4/5
而f（2α-π/3）=2sin(2α-π/3+π/3）=2sin2α=4sinαcosα=4*3/5*4/5=48/25

Answer 4

f(x)=2[(1/2)sinx+(根号3/2)cosx]=2sin(x+π/3)
(1)所以最小正周期为2π
(2)f(α-π/3)=2sinα=6/5
所以sinα=3/5
由此cosα=4/5
f(2α-π/3)=2sin2α=2*2sinαcosα=4*3/5*4/5=48/25