Question

第二十题 求解答

Answer 1

(1)证明：连接OA，△ABC三点共圆，且BC是直径，则OB=OC=OA

       由OA=OC可得∠OAC=∠OCA

       由OB=OA可得∠OAB=∠OBA

得∠BAC=∠ABC+∠ACB

       △ABC内角和为180°即∠ABC+∠BAC+∠ACB =180°

       则∠BAC= 90°

(2) ∠OAC=∠OCA，又AC平分∠OCD，则∠OCA=∠DCA

则∠OAC=∠DCA，故AO∥CD，四边形AOCD为平行四边形

又OA=OC，故四边形AOCD为菱形

则∠OAC=∠DCA=60°，AD=DC=OA=OC=R

在△AOB中，∠OAB=∠OBA=60°

△AOB为等边三角形，则AB=OA=OB=R

又四边形ABCD周长为10厘米，则R=2厘米

连接OD，△AOD为等边三角形，∠AOD=60°,

△AOD的面积=1/2*2*√3=√3平方厘米

阴影部分面积S=60/360圆的面积-△AOD的面积

            =60/360*3.14*2*2-√3≈0.36平方厘米

Answer 2

(1)连接OA和OD
因为AD∥BC，AC平分∠BCD，设∠BCA=∠ACD=∠DAC=X
由题意可知四边形ABCD为等腰梯形，所以∠ABC=∠DCB=2X
又因为OA=OB所以∠ABC=∠BAO=2X，同理∠OAC=∠OCA=X,所以∠BAC=∠BAO﹢∠OAC=3X
综上所述：∠ABC+∠BCA+∠BAC=2X+X+3X=6X=180º,即X=30º,∠BAC=3X=90º
(2)由（1）可知∠ABC=2X=60º，BO=AO,所以△ABO为等边三角形，同理△DOC为等边三角形，BC为直径，即AB=BO=OC=DC,∠AOD=60º
因为AC平分∠BCD,AD∥BC所以∠ACD=∠BCA=∠DCA,即AD=DC
因为周长为10=AB﹢BO﹢OC﹢DC﹢AD,所以AB=BO=OC=DC=AD=2
所以圆的半径为2，∠AOD=60º,即阴影部分面积=扇形AOD面积-三角形AOD面积=60º／360º×π×2²-1/2×2×2×sin60º=2／3·π—√3