Question

已知点E是正方形ABCD外的一点，EA=ED，线段BE与对角线AC相交于点F， （1）如图1，当BF=EF时，线段AF与DE

之间有怎样的数量关系？并证明；
（2）如图2，当△EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系，并证明．

Answer 1

（1）
证明如下：连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形，∴BO=DO，
∵BF=EF，∴OF∥DE．
∵BD⊥AC，∴∠EDO=∠AOB=90°，

∵∠ODA=∠OAD，EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=45°，∴∠OAD=∠OED=∠AOD=90°，
∴四边形AODE是正方形．
∴OA=DE，∴OF=$\frac{1}{2}$AO，∴AF=$\frac{1}{2}AO$=$\frac{1}{2}DE$．

（2）AF+BF=EF、AF2+EF2=2BF2等（只要其中一个），
AF+BF=EF的证明方法一：
连接BD交AC于O，在FE上截取FG=BF，连接DG．
与第（1）同理可证∠GDA=45°，
∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，∴∠GDE=60°-45°=15°．
∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAC+∠DAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=∠AEB==15°，∴∠ABF=∠GDE．
又∵∠DEG=∠DEA-∠AEB=60°-15°=45°=∠BAC，DE=AD=AB，

∴△ABF≌△EDG
∴EG=AF，∴AF+BF=EG+FG=EF．
AF+BF=EF的证明方法二：
在FE上截取FG=AF，连接AG．证得△AFG为等边三角形．
证得△ABF≌△AEG．
证得AF+BF=EF．
AF2+EF2=2BF2的证明方法：
作BG⊥BF，且使BG=BF，连接CG、FG，证得△BGC≌△BFA．
证得FC=FE，
利用Rt△FCG中，得出AF2+EF2=2BF2．

Answer 2

1) AF=DE/2.
证明:连接BD,交AC于O.AC与BD互相垂直平分,则DF=BF;
又BF=EF,故DF=BF=EF=(1/2)BE,得:∠BDE=90°.
故:∠EDA=∠BDE-∠BDA=45°;EA=ED,则∠EAD=∠EDA=45°,∠AED=90°;
又∠AOD=90°,AO=OD,则四边形AEDO为正方形,AO=DE;AE∥DO.
则AF/FO=EF/FB=1,得AF=FO,故:AF=AO/2=DE/2.
2)AF+BF=EF.
证明:若三角形EAD等边三角形,则:∠EAD=60°,∠EAB=150°;
且:AE=AD=AB,则∠ABE=∠AEB=15°,∠AFE=∠ABE+∠BAF=60°.
在FE上截取FG=FA,连接AG,则⊿AFG为等边三角形,AF=AG;∠FAG=60°,∠EAG=45°=∠BAF.
故⊿AEG≌ΔABF(SAS),得BF=EG.
∴AF+BF=FG+EG=EF.(等量代换)