Question

设函数f(x)=ax^3-6ax^2+3bx+b,其图像在x=2处的切线方程为3x+y-11=0。

（1）求函数f(x)的解析式；f(x)=x^3-6x^2+9x+3（2）若函数x=f(x)的图像与y=1/3f‘(x)+5x+m的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围

回答第二个就好

Answer 1

y = f(x) 与 y = 1/3 f'(x) + 5x + m 连理联立，消去y得到：
f(x) - 1/3 f'(x) - 5x = m
我们记 g(x) = f(x) - 1/3 f'(x) - 5x，得到 g(x) = m 有三个不同解。而 g(x) 是三次函数，且三次向系数大于0，因此m必须处在该三次函数的两个极大值之间（三次函数最大值和最小值都是无穷大）。

通过计算导数 g' = 0 得到 x 的两个解，这两个解对应的函数值就是m的取值范围（比如 x1 < x2，那么区间就是 (g(x2), g(x1))，是开区间）。

答案为（-16, 68/27）。

Answer 2

解答：解：（Ⅰ）由题意得f'（x）=3ax2-12ax+3b，f'（2）=-3，
∵图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．
∴x=2时，y=5，即f（2）=5，
∴12a−24a+3b＝−3
8a−24a+6b+b＝5

即4a−b＝1
−16a+7b＝5

解得a=1，b=3，
∴f（x）=x3-6x2+9x+3．（4分）
（Ⅱ）由f（x）=x3-6x2+9x+3，可得f'（x）=3x2-12x+9，
∴1
3
f′(x)+5x+m＝1
3
(3x2−12x+9)+5x+m=x2+x+3+m，
则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点，g'（x）=3x2-14x+8=（3x-2）（x-4），
则g（x），g'（x）的变化情况如下表．
x(−∞，2
3
)2
3
(2
3
，4)4（4，+∞）
g'（x）+0-0+
g（x）↗极大值↘极小值↗
则函数f（x）的极大值为g(2
3
)＝68
27
−m，极小值为g（4）=-16-m．（6分）
y=f（x）的图象与y＝1
3
f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点，则有：g(2
3
)＝68
27
−m＞0
g(4)＝−16−m＜0

解得−16＜m＜68
27
．（8分）
（Ⅲ）存在点P满足条件．（9分）
∵f（x）=x3-6x2+9x+3，
∴f'（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f'（x）=0，得x1=1，x2=3．
当x＜1时，f'（x）＞0；当1＜x＜3时，f'（x）＜0；当x＞3时，f'（x）＞0．
可知极值点为A（1，7），B（3，3），线段AB中点P（2，5）在曲线y=f（x）上，且该曲线关于点P（2，5）成中心对称．
证明如下：
∵f（x）=x3-6x2+9x+3，
∴f（4-x）=（4-x）3-6（4-x）2+9（4-x）+3=-x3+6x2-9x+7，
∴f（x）+f（4-x）=10．
上式表明，若点A（x，y）为曲线y=f（x）上任一点，其关于P（2，5）的对称点A（4-x，10-y）也在曲线y=f（x）上，曲线y=f（x）关于点P（2，5）对称．
故存在点P（2，5），使得过该点的直线若能与曲线y=f（x）围成两个封闭图形，这两个封闭图形的面积相等．…（12分）

Answer 3

（1）f(x)'=3ax^2-12ax+3b,f(2)'=-3,f(2)=5
f(2)'=12a-24a+3b=-12a+3b=-3 ```````(1)
f(2)=8a-24a+7b=-16a+7b=5```````````(2)
由(1)(2)得a=1,b=3
f(x)=x^3-6x^2+9x+3
(2)由(1)知f(x)'=3x^2-12x+9
y=1/3f(x)'+5x+m=x^2+x+3+m