Question

如图，点P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上的一个动点（P不与A，C重合）且PE=PB 今天就要回答啊！！！

（1）求证：PE⊥PD.
（2）设AP=x，四边形PECD的面积为y，求出y与x的关系式，并写出自变量的取值范围.

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Answer 1

过P作PM⊥BC于M PN⊥CD于N
∵P是正方形ABCD对角线AC上的点
∴PM=PN PB=PD
∵PE=PB
∴PE=PD
∴△DPN≌△EPM（HL）
∴∠DPN=∠EPM
∵∠NPM=90°=∠MPE+∠NPE
∴∠DPN+∠NPE=90°
∴PE⊥PD

由(1)得△DPN≌△EPM（HL）
所以S△DPN=S△EPM
所以四边形PECD的面积=正方形PMCN的面积
设AP=x
延长PN交AB于点F

△AFP是一个等腰直角三角形
AF²+FP²=2AF²=x²

AF=FP=√2x/2

PN=PM=MC=CN=1-FP=1-√2x/2

y=(1-√2x/2)²=1-√2x+x²/2
因为P不与A,C重合
所以0<x<√2

Answer 2

作PF垂直BE, 交于F
BPE是等腰三角形. PF是顶角BPE平分线。
PF, AB都垂直BE, PF// AB

∠ABP= ∠BPF
∠BPF = ∠EPF

AB= AD
∠BAP=∠DAP=45°
AP=AP
三角形 APB APD全等
∠ABP =∠ADP

所以 ∠EPF =∠ADP

由外角
∠PEF = 45° + ∠CPE
∠CPD = 45° + ∠ADP

∠EPD = ∠CPE + ∠CPD
= (∠PEF - 45)+ (45° + ∠ADP)
= ∠PEF + ∠EPF
= 90°