Question

证明1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/2(n+1)

不要用构造函数，用定积分来做。写详细点，谢谢了

Answer 1

参考下图:

① ln(n+1) = ∫{1,n+1} 1/x dx是曲线y = 1/x下在x轴上方x = 1与x = n+1之间的面积.

② 1+1/2+1/3+...+1/n是n个矩形的面积和, 完全包含了①中的面积.

③ 从②中除去①后, 剩余n个"曲边三角形", 面积大于图中所示蓝色三角形的面积.

蓝色三角形的面积和 = 1/2·(1-1/2)+1/2·(1/2-1/3)+...+1/2·(1/n-1/(n+1)) = n/(2n+2).

综合即得1+1/2+1/3+...+1/n > ln(n+1)+n/(2n+2).