Question

已知函数f(x)=Asin(wx+a)(A>0,w>0,-π/2<a<π/2)的最小正周期是π,且当x=π/6时，f(x)取得最大值3.

（1）求f(x)的解析式及单调增区间（2）若x0属于【0,2π），且f(x0)=3/2,求x0(3)将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图像，且y=g(x)是偶函数，求m的最小值

Answer 1

已知函数f(x)=Asin(wx+a)(A>0,w>0,-π/2<a<π/2)的最小正周期是π,且当x=π/6时，f(x)取得最大值3.
（1）求f(x)的解析式及单调增区间
（2）若x0属于【0,2π），且f(x0)=3/2,求x0
(3)将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)的图像，且y=g(x)是偶函数，求m的最小值

(1)解析：∵函数f(x)=Asin(wx+a)(A>0,w>0,-π/2<a<π/2)的最小正周期是π
∴f(x)=Asin(2x+a)
∵当x=π/6时，f(x)取得最大值3
f(π/6)=Asin(π/3+a)=3==>A=3，sin(π/3+a)=1==>π/3+a=π/2==>a=π/6
∴f(x)=3sin(2x+π/6)
单调增区间：2kπ-π/2<=2x+π/6<=2kπ+π/2==>kπ-π/3<=x<=kπ+π/6
(2)解析：∵x0属于【0,2π），且f(x0)=3/2
f(x0)=3sin(2x0+π/6)=3/2==> sin(2x0+π/6)=1/2
==>2x0+π/6=π/6==>x0=0
==>2x0+π/6=5π/6==>x0=π/3
∴x0=0或x0=π/3
(3)解析：∵将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y=g(x)为偶函数
f(x)=3sin(2x+π/6-2m)= ±3cos(2x)
π/6-2m=π/2==>m=-π/6
π/6-2m=-π/2==>m=π/3
∴m的最小值为π/3