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解：分享两种解法。
①分子有理化。对分子乘以[sin(x/2)]^(1/4)+1、[sin(x/2)]^(1/2)+1，并利用[sin(x/2)]^(1/4)+1、[sin(x/2)]^(1/2)+1是连续函数，在x=π时其值为2，
∴原式=[1/(4A)]lim(x→π)[sin(x/2)-1]/(x-π)^k=1。用洛必达法则两次，有A=-1/32、k=2。
①用无穷小量替换求解。设t=π-x，∴t→0。又，sin(x/2)=cos(t/2)~1-(1/8)t²。
再利用广义二项展开式“x→0时，(1+x)^α~1+αx”，∴[sin(x/2)]^(1/4)-1~[1-(1/8)t²]^(1/4)-1~-(1/32)t²。
∴原式=lim(t→0)[-(1/32)t²]/[A(-t)^k]=1。∴A=-1/32、k=2。
供参考。
①分子有理化。对分子乘以[sin(x/2)]^(1/4)+1、[sin(x/2)]^(1/2)+1，并利用[sin(x/2)]^(1/4)+1、[sin(x/2)]^(1/2)+1是连续函数，在x=π时其值为2，
∴原式=[1/(4A)]lim(x→π)[sin(x/2)-1]/(x-π)^k=1。用洛必达法则两次，有A=-1/32、k=2。
①用无穷小量替换求解。设t=π-x，∴t→0。又，sin(x/2)=cos(t/2)~1-(1/8)t²。
再利用广义二项展开式“x→0时，(1+x)^α~1+αx”，∴[sin(x/2)]^(1/4)-1~[1-(1/8)t²]^(1/4)-1~-(1/32)t²。
∴原式=lim(t→0)[-(1/32)t²]/[A(-t)^k]=1。∴A=-1/32、k=2。
供参考。
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