如图在平面直角坐标系中,直线y=-2/3x+2与x轴,y轴分别交于B,C两点,经过B,C两点的抛物线与x交A(-1,0)
（2）P在线段BC上的一个懂点（与B、C）不重合，过点P作直线a∥y轴，交抛物线与点E，交x轴与点F，设点P的横坐标为m，△BCE的面积为S
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围
②求S的最大值，并判断此时OBE的形状，说明理由
（3）过点P作直线b∥x轴，交AC与点Q，那么在X轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标，若不存在，请说明理由
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绘制了清晰一点的图见附图。
答：
（1）直线BC为y=-2x/3+2，交x轴于点B(3,0)，交y轴于点C（0,2）。
抛物线交x轴的另外一点为A(-1,0)，三点坐标决定的抛物线方程为y=-2(x-1)²/3+8/3
所以：点B（3,0），点C（0,2）。抛物线解析式为y=-2x²/3+4x/3+2.
（2）点P在线段BC上，BC直线为：2x+3y-6=0；BC=√13。设点P为（m，-2m/3+2），
则点E（m，-2m²/3+4m/3+2），点F为（m，0）。0<m<3.
2.1）
点E到BC的距离=|2m+3*(-2m²/3+4m/3+2)-6|/√13=2m(3-m)/√13
所以：三角形BCE的面积S=BC*点E到BC的距离/2
=√13*[2m(3-m)/√13]/2=
=-m²+3m
所以：S=-m²+3m，0<m<3
2.2）当m=-b/(2a)=-3/(-2)=3/2时，S取得最大值为c-b²/(4a)=0-9/(-4)=9/4
因为：m=3/2，所以：点E（3/2,5/2)，OE斜率为(5/2)/(3/2)=5/3。
点F（3/2,0)是BO的中点。
所以：EF是BO的中垂线
所以：△OBE是等腰三角形。
所以：面积S最大值为9/4，此时△OBE是等腰三角形。
（3）此小题没有明确点P的条件如何，姑且认为点P在线段BC上，但不是使得三角形BCE面积最大的点。
AC直线为：y=2x+2；点P（m，-2m/3+2)，点Q纵坐标为y=-2m/3+2，代入AC直线解得点Q的横坐标为x=-m/3。所以：点Q为（-m/3，-2m/3+2）；PQ=4m/3。
当PR⊥x轴时：点R（m，0），PR=PQ。所以：-2m/3+2=4m/3，解得：m=1符合，点R(1,0)
当QR⊥x轴时，点R（-m/3,0)，QR=PQ。所以：-2m/3+2=4m/3，解得：m=1符合，点R(-1/3,0)
当PR⊥QR时，点R在PQ的中垂线上，点R（m/3,0），点R到PQ的距离等于PQ的一半：
-2m/3+2=(4m/3)*(1/2)=2m/3，解得：m=3/2，点R（1/2,0)。
综上所述：点R为(-1/3,0)或者(1/2,0)或者(1,0)，此时点P分别为(1,4/3)、（3/2,1)、（1,4/3)。
1、B、C分别位于x轴、y轴，且在直线y=-2x/3+2上，所以B点坐标为(3,0), C点坐标为(0,2)
又抛物线经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,2)，设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c
将三点坐标代入得
a-b+c=0
9a+3b+c=0 可以求出：a=-2/3, b=4/3, c=2
c=2
从而得出抛物线关系式为 y=-2x2/3+4x/3+2
2、既然P是线段BC上的一动点，且XP=m，又直线L过P点平行于y轴，由题意有
XE=XP=XF=m
E点在抛物线y=-2x2/3+4x/3+2上，所以E点坐标为 (m, -2m2/3+4m/3+2)
P点在直线y=-2x/3+2上，所以 P点坐标为 (m, -2m/3+2)
F点在X轴正半轴上，所以 F点的坐标为 (m, 0)
S=S△BCE=(YE-YP)*[(XB-XP)+(XP-XC)]*1/2
=1/2×(-2m2/3+4m/3+2+2m/3-2)×3
=3/2×(-2m2/3+2m)
=-m2+3m
因P点在BC线段上，并与B、C均不重合，所以 0＜XP＜3，0＜YP＜2
从而求得 0＜m＜3
∴ S与m的函数关系式为 S= -m2+3m (0＜m＜3)
对S= -m2+3m进行因式分析有
S=-(m-3/2)2+9/4, 当m=3/2时，S有最大值 9/4
此时 三角形OBE三点坐标分别为O(0,0)，B(3,0)，E(3/2,5/2)
又直线L平行于Y轴，EF位于直线L上，所以EF⊥OB，∠OFE=∠BFE=Rt∠
由坐标关系知 OF=BF
所以△OFE≡△BFE
∴ 在△OEB中，OE=EB=√(（3/2）2+(5/2)2) =√34/2 ≠ 3=OB
∴ △OEB只能是等腰三角形，不可能是等边三角形
3.
直线AC解析式：y=2x+2
直线BC解析式：y=-2x/3+2
设P（(2-n)*3/2,n），P与Q纵坐标相同，则Q（(n-2)/2，n）
情况一：PQ为直角边时 PQ=PR或者PQ=QR
PQ=(2-n)*3/2-(n-2)/2=n
6-3n-n+2=2n
n=4/3，∴PQ能作为直角边,此时R的横坐标等于P或Q的横坐标
即有x=(2-4/3)*3/2=1或x=(4/3-2)/2=-1/3
情况2：PQ为斜边，这时PR=QR，R到PQ的高等于PQ的一半
(2-n)*3/2-(n-2)/2=2n
6-3n-n+2=4n
n=1，∴PQ能作为斜边,此时R的横坐标是PQ的中点横坐标
即有x=((2-1)*3/2+(1-2)/2)/2=(3/2-1/2)/2=1/2
综上所述，存在点R，R(-1/3,0),R(1/2,0),R(1,0),使得三角形PQR为等腰直角三角形
