Question

高中数学题第九题

最好画个图，解释下原理

Answer 1

如图所示。设球的半径为R，内接正四面体棱长为a，o'是OP在三角形ABC上的延长线。

三角形ABC为等边三角形，在三角形O'BC中，角O'BC为30度。角BO'C为120度，求得O'B为√3a/3。

在三角形O'BO中，O'B^2+O'O^2=OB^2=R^2

在三角形O'BP中，O'B^2+(O'O+R）^2=PB^2=a^2

联解以上两个方程，得出R=√6a/4

题目中P点出现在内接正四面体的概率即是：正四面体的体积/球体的面积

=  { [（√2a^3）/12] }    /  {  [4π (√6a/4)^3]  /3}

=2√3/9π 

答案选C。

Answer 2

选 C
P=V正四面体/V球
不妨设正四面体的边长是√2个单位
取一个边长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'
则四面体A-CB'D'就是一个边长为√2的正四面体
正四面体A-CB'D'的外接球就是正方体的外接球
球半径R=√3/2
V正四面体=(1/3)·V正方体=1/3
V球=(4/3)·π·(√3/2)³=(√3/2)π
P=(1/3)/((√3/2)π)=(2√3)/(9π)
所以 选C

Answer 3

其实就是求球体体积和内接正四面体体积之比，

选C

Answer 4

将半径R看做1，则
内接正四面体体积=8√3/27
球体积=4π/3
所求概率=(8√3/27)/(4π/3)=2√3/(9π)
选C