Question

求不定积分xarcsinxdx

Answer 1

解题过程如下：

解：原式等于=1/2*∫arcsinxdx^2

=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2darcsinx

=1/2*x^2*arcsinx-1/2∫x^2/√(1-x^2)dx       

令x=sint，那么，

∫x^2/√(1-x^2)dx

=∫(sint)^2/costdsint

=∫(sint)^2dt

=∫(1-cos2t)/2dt

=1/2t-1/4sin2t+C=1/2t-1/2sint*cost+C

性质：

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫ xarcsinx dx

= ∫ arcsinx d(x²/2)

= (1/2)x²arcsinx - (1/2)∫ x²/√(1 - x²) dx，x = sinz

= (1/2)x²arcsinx - (1/2)∫ sin²z/|cosz| * (cosz dz)

= (1/2)x²arcsinx - (1/2)∫ (1 - cos2z)/2 dz

= (1/2)x²arcsinx - (1/4)(z - 1/2*sin2z) + C

= (1/2)x²arcsinx - (1/4)arcsinx + (1/4)x√(1 - x²) + C

扩展资料：

分部积bai分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 3

如图所示

Answer 4

如图