Question

10.已知a为常数，函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2（x1<x2）则有【湖北高考题求解】

A.f(x1)＞0，f(x2)＞-1/2 B .f(x1)＜0，f(x2)＜-1/2
C. f(x1)＞0，f(x2)＜-1/2 D .f(x1)＜0，f(x2)＞-1/2

Answer 1

解析：∵函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)
当a=0时，f(x)=xlnx==> f’(x)=lnx+1=0==>x=1/e==> f(1/e)=-1/e
当a≠0时，f(x)=xlnx-ax^2==> f’(x)=lnx-2ax+1=0==>a=(lnx+1)/(2x)
设a(x)= (lnx+1)/(2x)
令a’(x)=-2lnx/(4x^2)=0==>x=1
当0<x<1时，a’(x)>0，当x>1时，a’(x)<0，∴a(x)在x=1处取极大值1/2
又∵x→+∞时，a(x)→0
∴当0<a<1/2时，f’(x)=lnx-2ax+1=0必存在二个解
即函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2),
当0<x<x1或x>x2时，f’(x)<0，当x1<x<x2时，f’(x)>0
函数f(x)在x1处取极小值，在x2处取极大值
又∵当a=1/2时，f’(x)=lnx-x+1=0==>x=1==> f(1)=-1/2
当a=0时，f(x)在x=1/e处取极小值f(1/e)=-1/e
∴函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)时，f(x1)<0，f(x2)>-1/2
选择D