Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得的极大值是-4,使其导数f'(x)>0的x的取值范围为（1，3），求：

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得的极大值是-4,使其导数f'(x)>0的x的取值范围为（1，3），求：
(1)f(x)的解析式
(2)若过点P（-1，m）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。

Answer 1

先做第一问，求f(x)解析式，如下：

Answer 2

对问题（1）的解答：
f'(x)>0的x的取值范围为（1，3），则f'(x)=0的两个解分别为1，3且有a<0. 将这两个值代入f'(x)，得
f'(1)=3a+2b+c=0 （1）
f'(3)=27a+6b+c=0 （2）
又因为f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得的极大值是-4.则f(x)要不在1处取得极大值，要不在3处取得极大值，有下式成立
f(1)=a+b+c=-4 （3）
或
f(3)=27a+9b+c=-4 （4）
联立 （1）（2）（3）
解得
a=-1
b=6
c=-1

联立（1）（2）（4）
解得a=2/9 与a<0矛盾。所以
f(x)=-x^3+6x^2-x

Answer 3

解：（1）其导数y'=3ax^2+2bx+c＞0的解为(1,3)所以有a＜0,且
3a*3^2+2b*3+c=0
3a*1^2+2b*1+c=0
所以b=-6a,c=9a,f(x)=ax^3-6ax^2+9ax
又f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得的极大值是-4，所以
f(x0)=ax0^3-6ax0^2+9ax0=-4,
f'(x0)=3ax0^2-12ax0+9a=0
当a=0时，f'(x0)≠0,所以a≠0
所以3x0^2-12x0+9=0
得x0=1或3,结合f(x0)=ax0^3-6ax0^2+9ax0=-4,得x0=1，a=-1,x0=3无a值符合题意舍去
所以f(x)=-x^3+6x^2-9x
第二问暂时没时间回答。