Question

关于圆的公切线问题

两圆方程是X^2+Y^2-2X+4Y+4=0 与X^2+Y^2-4X+2Y+19/4=0 ,它们公切线的条数有多少
大概自己已经可以证明到两圆相交，大概也可以猜到有多少条。。但是想求一下具体的解答方式
回答好可以加分

Answer 1

两圆公切线条数
相离：4条
外切：3条
相交：2条
内切：1条
内含：0条
方程可化为 (x-1)²+(y+2)²=1 和 (x-2)²+(y+1)²=1/4
圆心距离√2，1-1/2<√2<1+1/2
故相交，两条
(x-1)²+(y+2)²=1的切线为距离(1,-2)为1的点
即 cosα×(x-1)+sinα×(y+2)=1
(x-2)²+(y+1)²=1/4的切线为距离(2,-1)为1/2的点
即cosβ×(x-2)+sinβ×(y+1)=1/2
故任意x，y有
cosβ×(x-2)+sinβ×(y+1)-1/2=λ×（cosα×(x-1)+sinα×(y+2)-1）

整理得(cosβ-λcosα)x + (sinβ-λsinα)y + (λcosα+sinβ-2cosβ-2λsinα+λ-0.5) = 0
解方程组 cosβ-λcosα=0
sinβ-λsinα=0
λcosα+sinβ-2cosβ-2λsinα+λ-0.5=0
前两个方程知道tanβ=tanα
故α=β或α=β+π
代入前两个方程得λ=1或λ=-1
λ=1时解得
cosα=cosβ=(1+√7)/4，sinα=sinβ=(1-√7)/4 或 cosα=cosβ=(1-√7)/4，sinα=sinβ=(1+√7)/4
λ=-1时无解