Question

函数f(x)=alnx+½x²-(1+a)x(x＞0) 1求函数的单调区间2在﹙0，＋∞﹚f﹙x﹚≥0恒成立，求a的范围

3 n 为正整数，求证1／㏑2＋1／㏑3＋……1／㏑n＞n／﹙n＋1﹚

Answer 1

(1)因为x>0,f'(x)=[x^2-(1+a)x+a]/x,设g(x)=x^2-(1+a)x+a=(x-1)(x-a),△=(1-a)^2>=0可知①a=1,g(x)>=0,所以f(x)单调增区间为(0,正无穷)②a>1,f(x)增区间(0,1),(a,正无穷)减区间(1,a)③a<1,f(x)增区间(0,a),(1,正无穷)减区间(a,1)
(2)由于a>0,x趋近于0时alnx趋近负无穷则f(x)趋近负无穷,所以舍去.a<0时由(1)知f(x)增区间(0,a),(1,正无穷)减区间(a,1)所以讨论x趋近于0和x=1两种情况,x趋近于0时f(x)趋近正无穷,x=1时f(1)=-1/2-a>=0,则a<=-1/2
(3)分析此不等式,左侧为一不可求和数列,右边为一分式,可考虑右边是多项式的和通过题目的充分条件成立证明原命题成立即左边各项大于右边各项,有n／﹙n＋1﹚=1-1/(n+1)=1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[n(n+1)]=1/2+1/6+1/12+...+1/[n(n+1)]=,左边一共n-1项而右边一共n项,可以考虑把右边前两项合并为一项即1/2+1/6=2/3,因为1／㏑2>2/3,1／㏑3>1/12...可知以后均成立