Question

把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值 ∫（上限是1，下限是0）dx∫(下是x^2,上是X)(x^2+y^2)dy

Answer 1

积分区域如下划分：r的范围只受到下面曲线y = x^2的影响。

Answer 2

解：原式=∫<0,π/4>dθ∫<0,sinθ/cos²θ>r²*rdr (作极坐标变换)
=(1/4)∫<0,π/4>(sinθ/cos²θ)^4dθ
=(1/4)∫<0,π/4>[(tanθ)^4+(tanθ)^6]d(tanθ) (应用三角函数变换)
=(1/4)(1/5+1/7)
=3/35。

Answer 3

画图可以看出：y=x²，即ρsinθ=ρ²cos²θ，ρ=sinθ/cos²θ
∫(下0,上π/4)∫(下0,上sinθ/cos²θ)ρ³dρdθ