把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值 ∫(上限是1,下限是0)dx∫(下是x^2,上是X)(x^2+y^2)dy
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解:原式=∫<0,π/4>dθ∫<0,sinθ/cos²θ>r²*rdr (作极坐标变换)
=(1/4)∫<0,π/4>(sinθ/cos²θ)^4dθ
=(1/4)∫<0,π/4>[(tanθ)^4+(tanθ)^6]d(tanθ) (应用三角函数变换)
=(1/4)(1/5+1/7)
=3/35。
=(1/4)∫<0,π/4>(sinθ/cos²θ)^4dθ
=(1/4)∫<0,π/4>[(tanθ)^4+(tanθ)^6]d(tanθ) (应用三角函数变换)
=(1/4)(1/5+1/7)
=3/35。
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画图可以看出:y=x²,即ρsinθ=ρ²cos²θ,ρ=sinθ/cos²θ
∫(下0,上π/4)∫(下0,上sinθ/cos²θ)ρ³dρdθ
∫(下0,上π/4)∫(下0,上sinθ/cos²θ)ρ³dρdθ
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