Question

广义积分是否收敛

Answer 1

判断以下广义积分是否收敛？

解：设f(x)=(ln²x)/x²；由于f(1)=0；

再由 f'(x)=[x²•2(lnx)(1/x)-2xln²x]/x^4=(2lnx-2ln²x)/x³=2lnx(1-lnx)/x³=0

得2lnx(1-lnx)=0，得驻点x₁=1，x₂=e；当x<1时f'(x)<0，当x>1时f'(x)>0，故x₁=1是极小

点，极小值f(x)=f(1)=0；  x<e时f'(x)>0，x>e时f'(x)<0，故x₂=e是极大点，极大值f(x)=f(e)

=1/e²；又x→+∞limf(x)=x→+∞lim[(ln²x)/x²]=x→+∞lim[2(lnx)(1/x)/2x]

=x→+∞lim[(lnx)/x²]=x→+∞lim[(1/x)/2x]=x→+∞lim(1/2x²)=0；

故被积函数f(x)=ln²x/x²在积分区间[1，+∞)内是有界函数：0≦f(x)≦1/e²；

故该广义积分收敛。