Question

线性代数，如图

步骤具体一点，谢谢

Answer 1

设：f(x)=x^9-3x^6+5x^3-2x^2-1
因为A是实对称矩阵
所以A有4个实特征值：s,t,u,v
并且存在可逆实矩阵P把A化为对角形:P^-1AP=D
其中：D=diag(s,t,u,v)
已知：f(A)=0
即：P^-1f(D)P=0
可见A的4个特征值s,t,u,v都是f(x)的根
但是分解因式：
f(x)=(x^3-1)^3+2(x-1)x^2
=(x-1)(x^2+x+1)(x^3-1)^2+2(x-1)x^2
=(x-1)((x^2+x+1)(x^3-1)^2+2x^2)
其中第2个因式是正数，无实数根
所以f(x)只有一个实数根1
于是有：s=t=u=v=1
现在得知A是正定的
所以主子式
b1　　　b2　　　b3
b2　　　c1　　　c2
b3　　　c2　　　d
是正数
答案：填<

Answer 2

求f(x)的定义域，即求其反函数的值域，
y=(2x-5)/(x-3)=2+1/(x-3),x=3+1/(y-2),
所以函数f(x)的反函数为y=3+1/(x-2) x属于(负无穷大，0]U[4,正无穷大），
因为x属于(负无穷大，0]U[4,正无穷大），
所以x-2属于(负无穷大，-2]U[2,正无穷大），
1/(x-2)属于[-1/2，0)U(0,1/2]，
3+1/(x-2)属于[5/2，3)U(3,7/2]，即为函数f(x)的反函数的值域，
即函数f(x)的定义域为[5/2，3)U(3,7/2]，

Answer 3

A^9-3A^6+5A^3-2A^2=E
比较容易看出来有一个根是1
整理一下：（A-1）（A^8+A^7+A^6-2A^5-2A^4-2A^3+3A^2+A+1）=0
简单看一下后面的式子，可判断是没有实根的，严格证明较为繁琐，一道填空题，只需简单判断一下即可，在此不写
∵A是实对称矩阵
∴A的特征值必为实数
∵A的特征值必为A^9-3A^6+5A^3-2A^2=E的根
∴A的特征值只能取1
∵A的特征值均为正数
∴A正定
∴A的主子式全大于零
取右下3*3的子式，其大于0
行列式交换一二两列，前面加负号
所以答案为：＜