Question

求高考数列题解题套路

解数列题的窍门谢谢帮忙

Answer 1

求数列通项的基本方法1,A(n+1)=u*An+v
这类题目一般是令x=ux+v,解出x=a,则{An-a}是公比为u的等比数列

2,A(n+2)=u*A(n+1)+v*An
这类题目一般是令x^2=ux+v,解出x=x1,x2,则
①当x1≠x2时,
An=a*x1^n+b*x2^n,其中a,b为待定系数,可根据初始值A1,A2求出
②当x1=x2时,An=(an+b)*x1^n,其中a,b为待定系数,可根据初始值A1,A2求出

3,A(n+1)=(u*An+v)/(r*An+t)
这类题目一般是令x=(ux+v)/(rx+t),解出x=x1,x2,则
①当x1≠x2时,
(An-x1)/(An-x2)为等比数列 公比为(u-r*x1)(u-r*x2)
②当x1=x2时,1/(An-x1)为等差数列

4,A(n+1)=(u*An^2+v*An+s)/(r*An+t)
这类题目一般是令x=(ux^2+vx+s)/(rx+t),解出x=x1,x2
然后计算(A(n+1)-x1)/(A(n+1)-x2),看其是否等于(An-x1)/(An-x2)的平方

5,A(n+2)=(A(n+1)^2+a*b^n)/An
这类题目一般是由A(n+2)*An-(A(n+1))^2=a*b^n得A(n+3)*A(n+1)-(A(n+2))^2=b*(A(n+2)*An-(A(n+1))^2)
从而(A(n+3)+b*A(n+1))/A(n+2)=(A(n+2)+b*An)/A(n+1)
即(A(n+2)+b*An)/A(n+1)为常数列,等于(A3+b*A1)/A2,因此可化为第2种类型

6,A(n+1)=An^2-2
①当A1绝对值不大于2时,令α=arccos(A1/2),用归纳法可证An=2cos(α*2^(n-1))
②当A1绝对值大于2时,令A1=t+1/t,用归纳法可证An=t^(2^(n-1))+1/t^(2^(n-1))

7,A(n+1)=sqrt(2+An)
①当A1绝对值不大于2时,令α=arccos(A1/2),用归纳法可证An=2cos(α/2^(n-1))
②当A1大于2时,令A1=t+1/t,用归纳法可证An=t^(1/2^(n-1))+1/t^(1/2^(n-1))

8,A(n+1)=a*An^2+b*An+c
这类题目一般是配方,可化为
2a*A(n+1)+b=(2a*An+b)^2

9,A(n+2)=A(n+1)^a*An^b
这类题目一般是取对数,化为第2种类型

10,上面方法无法奏效时,应先算前几项,归纳出通项,然后用数学归纳法证明 11.特征方程数列{An}：满足An+2 + s*An+1 + t*An=0
则其对应的特征方程为：x^2 +sx+t=0 ,设其两根为α、β
1).当α≠β时，An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1)
2).当α＝β时，An=(kn+m)*α^(n-2)
其中k、m的值的求法，用A1、A2的值代入上面的通项公式中，建立方程组解之即可
(1).数列{An}满足：An+2 -4*An+1 +4An=0 ,A1=1 ,A2=2 ,求通项An
解：特征方程为 (x-2)^2=0 ,所以α＝β＝2
设An=(kn+m)*α^(n-2)　，
所以(k+m)/2 = 1 ,(2k+m)=2 ,解得：k=2 ,m=0
所以An=(kn+m)*α^(n-2)=n*2^(n-1)

(2).裴波那契数列{An}满足：An+2 -An+1 -An=0 ,A1=1 ,A2=1 ,求通项An
解：特征方程为 x^2 -x-1=0 ,所以α=(1-√5)/2 ,β=(1+√5)/2
设An=k*α^(n-1) + m*β^(n-1)　，则有
k + m = 1 ,k*(1-√5)/2 + m*(1+√5)/2 = 1
解得：k=-(√5/5)*α ,m=(√5/5)*β
所以An= (√5/5)*β^n - (√5/5)*α^n
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