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与常用级数做比较，比如调和级数，等比级数等等
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解：①小题，设vn=1/n，un=1/[n*n^(1/n)]，则l=lim(n→∞)vn/un=lim(n→∞)n^(1/n)=e^[lim(n→∞)lnn/n]=1。∴根据比值审敛法，∑vn与∑un具有相同的敛散性。
而，∑vn为p=1的p-级数，发散。∴级数∑1/[n*n^(1/n)]发散。
②小题，当0<a<1时，lim(n→∞)1/(1+a^n)=1≠0，按照级数收敛的必要条件可知，其发散。当a=1时，显然，∑1/(1+a^n)→∞，发散。当a>1时，设vn=1/a^n，un=1/(1+a^n)]，则l=lim(n→∞)vn/un=lim(n→∞)(1+a^n)/a^n=1。∴根据比值审敛法，∑vn与∑un具有相同的敛散性。
而，∑vn为首项为1/a、公比q=1/a的等比数列，且丨q丨<1，∴∑vn收敛。
∴综上所述，0＜a≤1时，级数∑1/(1+a^n)发散；a>1时，级数∑1/(1+a^n)收敛。
供参考。
而，∑vn为p=1的p-级数，发散。∴级数∑1/[n*n^(1/n)]发散。
②小题，当0<a<1时，lim(n→∞)1/(1+a^n)=1≠0，按照级数收敛的必要条件可知，其发散。当a=1时，显然，∑1/(1+a^n)→∞，发散。当a>1时，设vn=1/a^n，un=1/(1+a^n)]，则l=lim(n→∞)vn/un=lim(n→∞)(1+a^n)/a^n=1。∴根据比值审敛法，∑vn与∑un具有相同的敛散性。
而，∑vn为首项为1/a、公比q=1/a的等比数列，且丨q丨<1，∴∑vn收敛。
∴综上所述，0＜a≤1时，级数∑1/(1+a^n)发散；a>1时，级数∑1/(1+a^n)收敛。
供参考。
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