Question

设x,y,z∈R,且满足x²＋y²＋z²＝5,则x＋2y＋3z的最大值？ 速度…！谢谢谢谢

Answer 1

因为（x²＋y²＋z²)(1+4+9)≥（x+2y+3)²；

所以x＋2y＋3z≤√{（x^2+y^2+z^2)(1+4+9)}=√（5*14）=√70

 

详解如下：

追问

因为那些没看懂不是（x²+y²＋z²）（1²+2²+3²）≥（x＋2y＋3z）²吗

追答

对啊啊！这个只是一个高中公式的推广而已，数学是很灵活的！哪里不懂可以问我。

Answer 2

因为（x²＋y²＋z²）-（x＋2y＋3z）
=（x-1/2）²+（y-1）²+（z-3/2）²-3.5≥-3.5，
即 x＋2y＋3z≤（x²＋y²＋z²）+3.5=5+3.5＝8.5。
所以x＋2y＋3z的最大值是8.5。

Answer 3

画图求解，是在球面上找一个点，P=sqrt(5)/sqrt(14)*(1,2,3). 这样最大值是sqrt(70).

追问

大学知识？

追答

倒也不全是，虽然大学里面会讲，高中如果学过三维坐标比较好想象，严格的证明用Cauchy不等式。

你采纳的那个答案方法很巧妙，以前从没见过，但我仔细想了一下好像不对的，应该在三个平方项都等于0的时候取等号，即x=0.5,y=1,z=1.5. 这个条件不一定满足x^2+y^2+z^2=5的约束，所以最大值取不到。如果你学过cauchy不等式，用楼上的思路是很对的。