Question

已知函数f(x)=1/3x^3-2x^2+3x(x∈R)的图像为曲线C.

已知函数f(x)=1/3x^3-2x^2+3x(x∈R)的图像为曲线C.�（1） 求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；� 　　（2） 若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一个切点的横坐标的取值范围；� 　　（3） 试问：是否存在一条直线与曲线C同时相切于两个不同的点？如果存在，求出符合条件的所有直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

解答：1）、求导：f’(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1

由任意点处的斜率就是f'（x），f’（x）的值域为〔-1，+∞）

所以曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围〔-1，+∞）

2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，则切线的斜率范围在〔-1，0）U〔1，+∞）

则就是f’（x）∈〔-1，0）U〔1，+∞）
得x∈（-∞，2-√2〕U（1，3）U〔2+√2，+∞）

即其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围为（-∞，2-√2〕U（1，3）U〔2+√2，+∞）

3）就是看f, =x^2-4x+3=(x-2)^2-1在定义域内是否存在两个不同的x使得f’相等，显然是成立的

Answer 2

求人不如求己，下几何画板吧，很好用的。