Question

高等数学关于闭区间函数可导性的问题

书上关于函数在闭区间可导的定义是这样的“如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导，且a的右导数和b的左导数都存在，那么称f(x)在闭区间[a,b]上可导”
我想请问一下比如函数f(x)=|x|，它在开区间(0,1)内可导且0的右导数和1的左导数都存在且为1，按照书上的定义，那么该函数在闭区间[0,1]上可导。而实际上f(x)在x=0处不可导，产生了矛盾。希望有人能够解释一下这个问题。

Answer 1

左导数是不等于右导数的！
f(x)=
-x x<=0
x x>0
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
x→0+
则|x|=x
f'(x→0+)=limx/x=1
所以x→0+,limf(0+)=1
x→0-
则|x|=-x
f'(x→0-)=x/(-x)=-1
所以x→0-,limf'(0-)=-1
左导数不等于右导数,所以x=0点不可导

追问

不不不，我的问题不是问0处是否可导，我知道x=0处不可导。我是想说书上闭区间可导性的定义与我举的例子产生了矛盾，希望能解释一下为什么会产生该矛盾。

追答

嗯，这个定义我个人是这么理解的：

1. f(x)在(a,b)上是可导的。

2. 他明确指出了在x=a右导数存在，x=b左导数存在。那说明在这两个端点是“半可导”的。针对本例实则是不可导的。。

追问

那可以说是书上关于函数在闭区间内可导的判定给出的定义是不准确吗？

追答

我认为是有问题的～