Question

用极限定义证明

如果limf(x)=A，limg(x)=B，且B≠0，则lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B，书上利用无穷小的证明我已经知道了，谁能利用函数的定义证明呢

Answer 1

对于任意的a<1,存在b,使得|x-x0|<b时，有|f(x)-A|<a,|g(x)-B|<a<1,B-1<g(x)<B+1,令
M=max(|B-1|,|B+1|),那么|g(x)|>M,
所以|f(x)/g(x)-A/B|=|(Bf(x)-Ag(x))/Bg(x)|<|(Bf(x)-AB+AB-Ag(x)|/M|B|=|(B(f(x)-A)+A(B-g(x))|/M|B|<
(|B|*|f(x)-A|+|A|*|B-g(x))|/M|B|<(|B|*a+|A|*a)/M|B|得证！！