Question

lim t→0时 ln（cost+sin²t)/t²，求极限

为什么不能用把cost当成1，直接用ln（1+x)∽x，直接求得1。

Answer 1

分子：ln（cost+sin²t)=ln（cost+sin²t+1-1)~cost+sin²t-1=cost(1-cost)
这时候可以无穷小替换了
分子是t²/2，分母是t²，结果是1/2

Answer 2

t->0
cost ~ 1-(1/2)t^2
(sint)^2 ~ t^2
cost +(sint)^2 ~ 1+(1/2)t^2
ln[cost +(sint)^2] ~ln[1+(1/2)t^2] ~ (1/2)t^2
''
lim(t->0) ln[cost+(sint)^2]/ t^2
=lim(t->0) (1/2)t^2 / t^2
=1/2

追问

哪些情况下cost可以直接等于1，我见过有这样做的。

追答

当分母是 degree x, x^2 可以不要
e.g
lim(x->0) ( 1- cosx + sinx) /x
=lim(x->0) ( 1- 1 + sinx) /x
=lim(x->0) sinx /x
=1

追问

OK

OK

Answer 3

可以

追问

这题答案是0.5，用洛必达做的