Question

多元隐函数求极值

已您好，我想向您请教一下，多元隐函数求极值的问题，今天我在做考研题是，这个问题困扰了很久。下面是题

z=z(x,y)由方程(x² y²)z lnz 2(x y 1)=0确定，求z=z(x,y)的极值

Answer 1

• (x²+y²)z+lnz+2(x+y+1)=0 ？

  2x·z+(x²+y²)∂z/∂x+(∂z/∂x)/z+2=0→∂z/∂x=-(2x·z+2)/(x²+y²+1/z)

  2y·z+(x²+y²)∂z/∂y+(∂z/∂y)/z+2=0→∂z/∂x=-(2y·z+2)/(x²+y²+1/z)

  驻点x·z=-1 y·z=-1 代入：

  (1/z²+1/z²)z+lnz-2(1/z+1/z+1)=0→-2/z+lnz+2=0→z=1 

  驻点(-1,-1)

• ∂²z/∂x²=-2[(z+x∂z/∂x)(x²+y²+1/z)-(x·z+1)(2x-1/z²·∂z/∂x)]/(x²+y²+1/z)²

  ∂²z/∂y²=-2[(z+y∂z/∂y)(x²+y²+1/z)-(y·z+1)(2y-1/z²·∂z/∂y)]/(x²+y²+1/z)²

  ∂²z/∂x∂y=-2[x∂z/∂y)(x²+y²+1/z)-(y·z+1)(2y-1/z²·∂z/∂y)]/(x²+y²+1/z)²

  A=-⅔=C、B=0

  B-AC<0 A<0→(-1,-1)是极大值点

  极大值=1

追问

谢谢您！