Question

已知函数f(x)=a/3x^3-ax^2+x+1,若f(x)在(负无穷,正无穷)上是增函数,求a

(2)f(x)在x=x1及x=x2处有极值,且1<x1/x2<=5求a

Answer 1

f(x)=a/3x^3-ax^2+x+1
f'(x)=ax²-2ax+1
∵f(x)在(负无穷,正无穷)上是增函数
∴x∈R,f'(x)≥0恒成立
当a=0时，f'(x)=1>0符合题意
当a≠0时需，a>0且，Δ=4a²-4a≤0
解得0<a≤1
综上，0≤a≤1

∵f(x)在x=x1及x=x2处有极值
(Δ>0,a<0或a>1)
∴x1,x2是方程ax²-2ax+1=0的两个不等的实数根
∴x1+x2=2①,x1x2=1/a②
∴①²÷②：
(x1+x2)²/(x1x2)=4a
展开：x1/x2+x2/x1+2=4a
设x1/x2=t∈(1,5]
∴4a=t+1/t+2
g(t)=t+1/t+2
g‘（t)=1-1/t²=(t²-1)/t²>0
∴g(t)为增函数
∴g(t)∈(4,36/5]
∴4<4a≤36/5
∴1<a≤9/5