Question

设O为坐标原点，曲线x^2+y^2+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足向量OP*向量OQ=0

设O为坐标原点，曲线x^2+y^2+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足向量OP*向量OQ=0
1.求m的值
2.求直线PQ的方程

Answer 1

1.假设P(x1,y1),Q(x2,y2),由于都在曲线x^2+y^2+2x-6y+1=0上，所以分别代入得到：
x1^2+y1^2+2x1-6y1+1=0 x2^2+y2^2+2x2-6y2+1=0
整理得,(x1+1)^2+(y1-3)^2=(x2+1)^2+(y2-3)^2``````````````式1
有因为P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称,即直线x+my+4=0是线段PQ的垂直平分线,
所以直线x+my+4=0上的定点(-4,0)到P,Q两点的距离相等,
所以有(x1+4)^2+y1^2=(x2+4)^2+y2^2`````````````````````式2
式1和式2相减整理得到,x1-x2=y2-y1,即(y2-y1)/(x2-x1)=-1
即PQ所在直线的斜率是-1,所以-1*(-1/m)=-1,
所以m=-1

Answer 2

解：（1）曲线方程为（x+1）2 +（y－3）2 = 9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. … …∵点P、Q在圆上且关于直线x + my + 4 = 0对称，∴圆心（－1，3）在直线上. 代入得 m = －1. … …（2）∵直线PQ与直线 y = x+4垂直，∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y = －x+b. … …将直线y = －x+b代入圆方程，得2x2 +2（4－b）x + b2－6 b + 1 = 0. … …Δ = 4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）>0，得2－3 <b<2+3 . … …由韦达定理得x1+x2 = －（4－b），x1·x2= . … …∴ y1·y2=b2－b（x1+x2）+x1·x2= +4b. … …∵ · =0， ∴x1x2+y1y2=0，即b2－6b+1+4b=0. … … 解得b =1 ∈（2－3 ，2+3 ）. … …∴ 所求的直线方程为y = －x+1.