Question

关于函数f（x）=4sin（2x-π/3），x∈R，有下列命题

1、函数y=f（x+4π/3）是偶函数
2、要得到函数g（x）=-4sin2x的图像，只需将f（x）的图像向右平移π/3个单位
3、函数y=f（x）的图像关于直线x=-π/12对称
4、y=f（x）在【0，2π】内的增区间是【0，5π/12】和【11π/12，2π】
其中正确的命题是？

Answer 1

1，错，因为y=f（x+4π/3）=4sin(2(x+4π/3)-π/3)=4sin(2x+2π)=4sin(2x)，所以y是奇函数
2，错，因为将f（x）的图像向右平移π/3个单位，是4sin2(x-π/3)=4sin(2x-2π/3)
3，对，因为三角函数图像关于函数取最值点的时候对称，所以只须验证当x=-π/12时，函数是否为最值点即可。此时2x-π/3=-π/2，为函数的最小值点。所以正确。
4，对，看图就知道了

Answer 2

令t=2x+π/3，则原式f(x)=4sin(t)
函数变换f(x)=4sin(t)=-4cos(π/2+t)=4cos(π/2+t+π)
将t代入，则原式＝4cos(2x-π/6)

接着就是奇偶性的问题了

通过3、4给出的条件，不难发现，问题刻理解为原函数在平移π/6后是奇还是偶函数，故，不妨令k=x+π/6 则4cos(2x-π/6)＝4cos(2k-π/2)，后面就不难啦，最终f(t)=4sin(2t)，sin是个奇函数

Answer 3

我来回答解：由于函数f（x）=4sin（2x+π3）（x∈R）的周期等于π，而函数的两个相邻的零点间的距离等于π2，
故由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2 必是π2的整数倍，故①不正确．
由诱导公式可得函数f（x）=4sin（2x+π3）=4sin[π2-（-2x+π6）]=4cos（-2x+π6）=4cos（2x-π6），
故②正确．
由于x=-π6时，函数f（x）=4sin0=0，故y=f（x）的图象关于点（-π6，0）对称，故③正确．
故答案为：②③．