Question

求级数的敛散性 1.∑ 1/[√(n+1)+√n] 2.∑n/(n+1)! 3.∑(√n+1-√n )/(√n^2+n) 4.∑3ln^n a(a>0)

5.∑1000^n/n! 6.∑2^n/n^3 7.∑4n-3/n(2n+1)(2n-1) 8.∑1/n^n√n 9.∑(n-1)!/n^n-1
要过程跟结果~~~谢谢了

Answer 1

1、利用正项级数收敛定义
原式=Σ√(n+1)-√n
部分和Sn=√2-1+√3-√2+...+√(n+1)-√n=√(n+1)-1
因为{Sn}无界，所以原级数发散
2、利用比较判别法
n/(n+1)!<(n+1)/(n+1)!=1/n!
因为Σ1/n!收敛，所以原级数收敛
3、利用比较判别法
(√n+1-√n )/(√n^2+n)<(√n+1-√n )/n=1/n(√n+1+√n)<1/n√n=1/n^(3/2)
因为Σ1/n^(3/2)收敛，所以原级数收敛
4、利用几何级数收敛定义
当|lna|<1，1/e<a<e时，原几何级数收敛
当|lna|>=1，0<a<=1/e或a>=e时，原几何级数发散
5、利用达朗贝尔判别法
u(n+1)/u(n)=[1000^(n+1)/(n+1)!]*[n!/1000^n]=1000/(n+1)->0 (n->∞)
所以原级数收敛
6、利用正项级数收敛定义
因为2^n/n^3->∞ (n->∞)
所以原级数发散
7、利用比较判别法
(4n-3)/n(2n+1)(2n-1)=2/n(2n+1)+2/(2n+1)(2n-1)-1/n(2n-1)<2/n^2+2/n^2-1/2n^2=7/2n^2
因为几何级数Σ7/2n^2收敛，所以原级数收敛
8、利用柯西判别法
u(n)^(1/n)={1/n^[n^(3/2)]}^(1/n)=1/n^(√n)->0 (n->∞)
所以原级数收敛
9、利用达朗贝尔判别法
u(n+1)/u(n)=[n!/(n+1)^n]*[n^(n-1)]/(n-1)!]=[n/(n+1)]^n=(1+1/n)^(-n)->1/e (n->∞)
所以原级数收敛