Question

求下列微分方程的通解

用凑微分法做题

Answer 1

解：(1)小题，令cos²xdy/dx+y=0，∴dy/y=-sec²xdx。两边积分，∴ln丨y丨=-tanx+C1。∴其齐次方程的通解为，y=ce^(-tanx)。
∴设y=v(x)e^(-tanx)，代入原方程，经整理，有v'(x)=sec²xtanxe^(-tanx)。
∴v(x)=∫sec²xtanxe^(tanx)dx=(tanx-1)e^(tanx)+C。∴其通解为，y=tanx-1+Ce^(-tanx)。
(2)小题，令dy/dx=-2xy。∴dy/y=-2xdx。两边积分，∴ln丨y丨=-x²+C1。∴其齐次方程的通解为，y=ce^(-x²)。
∴设y=v(x)e^(-x²)，代入原方程，经整理，有v'(x)=2x。∴v(x)=∫2xdx=x²+C。
∴其通解为，y=(x²+C)e^(-x²)。
供参考。

Answer 2

（1）
∵（cosx）^2·dy/dx＋y＝tanx，∴（cosx）^2·dy/dx＝tanx－y。
令tanx－y＝u，则：y＝tanx－u，∴dy/dx＝1/（cosx）^2－du/dx，
∴（cosx）^2·［1/（cosx）^2－du/dx］＝u，
∴1－（cosx）^2·du/dx＝u，∴1－u＝（cosx）^2·du/dx，
∴［1/（cosx）^2］dx＝［1/（1－u）］du，∴d（tanx）＝－d（ln｜1－u｜），
∴tanx＝－ln｜1－u｜＋C＝－ln｜1－（tanx－y）｜＋C＝C－ln｜1＋y－tanx｜。
∴原微分方程的通解是：tanx＝C－ln｜1＋y－tanx｜。
－－－－－－
（2）
∵dy/dx＝－2xy＋2xe^（－x^2），
∴dy/［（－2x）dx］＝y－e^（－x^2），
∴dy/d（－x^2）＝y－e^（－x^2）。
令－x^2＝u，则有：dy/du＝y－e^u，∴dy/［（e^u）du］＝y/e^u－1，
∴dy/d（e^u）＝y/e^u－1。
令e^u＝t，则有：dy/dt＝y/t－1。
再令y/t＝w，则y＝wt，∴dy/dt＝w＋tdw/dt＝w－1，∴tdw/dt＝－1，∴dw＝－（1/t）dt，
∴w＝－ln｜t｜＋C，∴y/t＝－ln｜t｜＋C，∴y/e^u＝－ln｜e^u｜＋C＝－u＋C，
∴y/［e^（－x^2）］＝－（－x^2）＋C＝C＋x^2，
∴y＝（C＋x^2）e^（－x^2）。
∴原微分方程的通解是：y＝（C＋x^2）e^（－x^2）。

Answer 3

如图

追答

一阶线性微分方程的解法，常数变易法求解

追问

用凑微分怎么做

追答

凑微分是求不定积分，你想说的是全微分？