Question

定积分求面积

定积分求面积需要过程，最好有电子版，在线等，急。

Answer 1

∫<a, b>|x|dx = ∫<a, 0>-xdx + ∫<0, b>xdx = (a^2+b^2)/2 = 1/2
a^2 + b^2 = 1.
联立解 y = x^2 + ax, y = bx 得交点 (0, 0), (b-a, 0)
S = ∫<0, b-a>(bx-x^2-ax)dx = [(1/2)(b-a)x^2 - (1/3)x^3]<0, b-a>
= (1/6)(b-a)^3,
将 a = -√(1-b^2) 代入得 S = (1/6)[b+√(1-b^2)]^3
dS/db = (1/2)[b+√(1-b^2)]^2 [1-b/√(1-b^2)]
令 dS/db = 0, 得 b = 1/√2, 此时 a = -1/√2，
d^2S/db^2 = [b+√(1-b^2)][1-b/√(1-b^2)]^2 - (1/2)[b+√(1-b^2)]^2 [1/(1-b^2)^(3/2)]
b = 1/√2 时，d^2S/db^2 = 0 - 2^(3/2) = - 2^(3/2) < 0,
此时面积最大，最大面积 S = √2/3。

追问

最小是？？？

追答

在条件 a ≤ 0 ≤ b 下，没有其他驻点 。
导数不存在的点是 b = 1，此时 a = 0， 此时 S 应取最小值，
最小面积 S = 1/6