Question

常微分方程问题1

如图，有几个常微分方程的问题一直搞不明白，求解答。1、题目说的二阶常系数非齐次线性微分方程的解是指通解+特解的完整解吗？2、这种二阶常系数非齐次线性微分方程为什么会有不止一个解？3、答案中为什么直接说特解就是xe^x?4、为什么特解带入原方程求出来的就是自由项？
题目在这

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Answer 1

1.是
2.任意常数C1和C2变化不就是多解吗
3.一个e^2x，一个e^(-x)，一个xe^x，既然没有e^x，说明特征根方程不是重根，所以只能特征根r=2和-1，所以特征根确立了，xe^x只能是特解
4.因为通解是齐次线性的，代入微分方程则右边为零，特解才是对应右边的

追问

2、任意常数C变化确实有任意多个通解，也就有任意多个解。但是现在题目给出的两个解相差的不是常数C，怎么理解？
还有既然已经知道了特征跟是2和-1，那通解应该是有两项，加上特解应该有三项才对吧，为什么题目给出的解都只有两项？

3、为什么特征根是2和-1，特解就一定是xe^x？不理解这逻辑

麻烦解答一下，谢谢！

这么理解对吗？

追答

嗯，对，再严谨点就是最后两行C和C₂是一个0一个1的关系

因为特解是固定的，这也是为什么通解是y1-y2的原理