Question

空间几何

19. 如图，在在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，
AD=CD=，PA=，∠ABC=120°,G为线段PC上的点.

（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC ;
（Ⅱ)若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求GC(PG) 的值.
第三问 pg 比上 gc 浙江文数 19 题

Answer 1

(1)证明：∵在在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD
∴面PAC⊥面ABCD==>PA⊥BD
∵AB=BC，AD=CD，∴BD为AC的中垂线==>BD⊥AC
∴BD⊥面PAC
(2)解析：∵G是PC的中点，
设AC交BD于O，连接GO
∴GO//PA==>GO⊥面ABCD==>面PAC⊥面BGD，GO为GD在面PAC中的投影
∴tan∠DGO=OD/OG
∵AB=BC=2，AD=CD=√7，PA=√3，∠ABC=120°,
GO=1/2PA=1
AC=√(AB^2+BC^2-2AB*BC*cos∠ABC)= √(4+2*2*1/2)= √6
OD=√(AD^2-OA^2)= √(7-3/2)= √22/2
∴tan∠DGO=OD/OG= √22/2
∴DG与PAC所成的角的正切值为√22/2
(3)解析：∵G满足PC⊥面BGD
∴PC⊥GO==>⊿PAC∽⊿OGC
∴GC/AC=OC/PC=GO/PA
PC=√(AC^2+PA^2)= √10
OC/PC=(√6/2)/ √10=√15/10==>GC=√6/2
PG=PC-GC=√10-√6/2
∴PG/GC=(√10-√6/2)/(√6/2)=2√15/3-1

Answer 2

1,因为PA垂直于面ABCD，所以BD⊥PA；因为AB＝BC，AD＝DC，所以BD⊥AC；因为BD垂直于PA和AC，所以BD⊥面PAC
就5分，剩下的你自己做