确定常数a,b,c的值,使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,
上边式子后面那个积分下界是x,上界是b;有一点不明白,如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln(1+t^3)/t等价于t^2,又积分一次应该等价于t^3,...
上边式子后面那个积分下界是x,上界是b;
有一点不明白,如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln(1+t^3)/t等价于t^2,又积分一次应该等价于t^3,如果这样算c=1/6和用洛必达法则先求导做出的答案不一样。为什么不可以像我那样直接把上限都用等价无穷小替换?谢谢
写错了一个字:为什么不可以像我那样直接把上下都用等价无穷小替换?谢谢 展开
有一点不明白,如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln(1+t^3)/t等价于t^2,又积分一次应该等价于t^3,如果这样算c=1/6和用洛必达法则先求导做出的答案不一样。为什么不可以像我那样直接把上限都用等价无穷小替换?谢谢
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2013-06-13
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洛必达法则
d/dx (ax - sinx) = a - cosx
d²/dx² (ax - sinx) = sinx
d/dx ∫(x,b) ln(1 + t³)/t dt = - ln(1 + x³)/x ~ - x²
d²/dx² ∫(x,b) ln(1 + t³)/t dt = - 2x
==> 原式 = lim(x→0) (sinx)/(- 2x) = - 1/2 = c
x - sinx ~ x³/6
∫(x,0) ln(1 + t³)/t dt
~ ∫(x,0) t² dt、当x→0的时候亦有t→0,在积分号里用等价无穷小
= 0³/3 - x³/3 = - x³/3
于是lim(x→0) (x³/6)/(- x³/3) = (1/6)(- 3) = - 1/2 = c
d/dx (ax - sinx) = a - cosx
d²/dx² (ax - sinx) = sinx
d/dx ∫(x,b) ln(1 + t³)/t dt = - ln(1 + x³)/x ~ - x²
d²/dx² ∫(x,b) ln(1 + t³)/t dt = - 2x
==> 原式 = lim(x→0) (sinx)/(- 2x) = - 1/2 = c
x - sinx ~ x³/6
∫(x,0) ln(1 + t³)/t dt
~ ∫(x,0) t² dt、当x→0的时候亦有t→0,在积分号里用等价无穷小
= 0³/3 - x³/3 = - x³/3
于是lim(x→0) (x³/6)/(- x³/3) = (1/6)(- 3) = - 1/2 = c
更多追问追答
追问
d/dx ∫(x,b) ln(1 + t³)/t dt = - ln(1 + x³)/x ~ - x²这个怎么会得出负号呢?
追答
因为x是下限,由变上限的求导公式,就会产生负号
d/dx ∫(x,b) f(t) dt = d/dx [- ∫(b,x) f(t) dt] = - f(x)
我找到的答案是a = 1,b = 0,c = - 1/2
你那个做法没问题,只是过程中对t求积分那个是t^3/3而不是t^3
你那个「上限都用等价无穷小替换」是什么意思?
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当 x→0 时,极限式分子 (ax-sinx)→0,若存在极限c,分母也须趋于0,故积分式上限b=0;
假定题目中积分式为 [ln(1+t³)]/t;(如积分式为 ln[(1+t³)/t] 则由所不同)
应用洛必达法则;lim{x→0}{(ax-sinx)/[∫dt ln(1+t³) /t]}=lim{-x(a-cosx)/ln(1+x³)}
=lim{(cosx-xsinx-a)/[3x²/(1+x³)]}=(1/3)*lim{(cosx-xsinx-a)/x²};
上式末端分母仍是趋于0,若存在极限,则分子部分也要趋于0,即 cosx-a→0,∴ a=1;
原式=(1/3)*lim{(-2sinx-xcosx)/(2x)}=(1/3)*(-1 -1/2)=-1/2=c;
a=1 需要推导到一定步骤后才能判断出,中途不能假定;不知所述“分母 ln(1+t³)/t 等价于 t² ”是如何得出,又如何能将等价无穷小应用到积分式内部;
假定题目中积分式为 [ln(1+t³)]/t;(如积分式为 ln[(1+t³)/t] 则由所不同)
应用洛必达法则;lim{x→0}{(ax-sinx)/[∫dt ln(1+t³) /t]}=lim{-x(a-cosx)/ln(1+x³)}
=lim{(cosx-xsinx-a)/[3x²/(1+x³)]}=(1/3)*lim{(cosx-xsinx-a)/x²};
上式末端分母仍是趋于0,若存在极限,则分子部分也要趋于0,即 cosx-a→0,∴ a=1;
原式=(1/3)*lim{(-2sinx-xcosx)/(2x)}=(1/3)*(-1 -1/2)=-1/2=c;
a=1 需要推导到一定步骤后才能判断出,中途不能假定;不知所述“分母 ln(1+t³)/t 等价于 t² ”是如何得出,又如何能将等价无穷小应用到积分式内部;
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