Question

确定常数a,b,c的值，使lim(x趋于0) (ax-sinx)/[∫ ln﹙1+t³﹚/t dt]=c ,

上边式子后面那个积分下界是x，上界是b；
有一点不明白，如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3，分母由于ln（1+t^3）/t等价于t^2，又积分一次应该等价于t^3，如果这样算c=1/6和用洛必达法则先求导做出的答案不一样。为什么不可以像我那样直接把上限都用等价无穷小替换？谢谢
写错了一个字：为什么不可以像我那样直接把上下都用等价无穷小替换？谢谢

Answer 1

洛必达法则

d/dx (ax - sinx) = a - cosx
d²/dx² (ax - sinx) = sinx
d/dx ∫(x，b) ln(1 + t³)/t dt = - ln(1 + x³)/x ~ - x²
d²/dx² ∫(x，b) ln(1 + t³)/t dt = - 2x
==> 原式 = lim(x→0) (sinx)/(- 2x) = - 1/2 = c

x - sinx ~ x³/6
∫(x，0) ln(1 + t³)/t dt
~ ∫(x，0) t² dt、当x→0的时候亦有t→0，在积分号里用等价无穷小
= 0³/3 - x³/3 = - x³/3
于是lim(x→0) (x³/6)/(- x³/3) = (1/6)(- 3) = - 1/2 = c

追问

d/dx ∫(x，b) ln(1 + t³)/t dt = - ln(1 + x³)/x ~ - x²这个怎么会得出负号呢？

追答

因为x是下限，由变上限的求导公式，就会产生负号
d/dx ∫(x，b) f(t) dt = d/dx [- ∫(b，x) f(t) dt] = - f(x)
我找到的答案是a = 1，b = 0，c = - 1/2
你那个做法没问题，只是过程中对t求积分那个是t^3/3而不是t^3
你那个「上限都用等价无穷小替换」是什么意思？

追问

我打错了一个字，不好意思，我的意思是上下两个式子都用等价无穷小替换。

追答

分子中的那个sinx不能直接用等价无穷小sinx ~ x，因为是加减关系
但是可用x - sinx ~ x³/6，这个是从泰勒公式得到的等价无穷小(替换整个分子，重点是跟分母同阶)
总之要符合等价无穷小的要求，乘除可以，加减不可以，除非换成泰勒公式

Answer 2

当 x→0 时，极限式分子 (ax-sinx)→0，若存在极限c，分母也须趋于0，故积分式上限b=0；
假定题目中积分式为 [ln(1+t³)]/t；（如积分式为 ln[(1+t³)/t] 则由所不同）
应用洛必达法则；lim{x→0}{(ax-sinx)/[∫dt ln(1+t³) /t]}=lim{-x(a-cosx)/ln(1+x³)}
=lim{(cosx-xsinx-a)/[3x²/(1+x³)]}=(1/3)*lim{(cosx-xsinx-a)/x²}；
上式末端分母仍是趋于0，若存在极限，则分子部分也要趋于0，即 cosx-a→0，∴ a=1；
原式=(1/3)*lim{(-2sinx-xcosx)/(2x)}=(1/3)*(-1 -1/2)=-1/2=c；

a=1 需要推导到一定步骤后才能判断出，中途不能假定；不知所述“分母 ln(1+t³)/t 等价于 t² ”是如何得出，又如何能将等价无穷小应用到积分式内部；