Question

已知点F为抛物线y平方=-8x的焦点,O为原点,点P为抛物线准线上一点,点A在抛物线上,且AF=4,则PA+PO的最小值

Answer 1

F：（-2，0）

A：（-a^2/8,a)
AF等于A到准线x=2的距离即a^2/8+2=4
a=4或者-4，a坐标（-2，4）或者（-2，-4）
只讨论上一种情况（即a坐标为（-2，4）），下一种对称
直接看图形，请自己画出
P与A或O不重合时念丛镇，PAO形成一个三角形，PA+PO>AO，重合时PA+PO=AO
故郑陪当P和A或O重合仔粗时PA+PO最小
大小为2*根号5

追问

答案是 2*根号13

追答

哦，看错了，准线上一点，依然讨论a为(-2,4)的情况
那直接写公式，设p(2,p)
PA+PO=根号(4^2+(p-4)^2)+根号(4+p^2)

求导，1/(2*根号(p^2-8p+32))*(2p-8)+1/(2*根号(4+p^2))*2p

令其>0，得p/(根号(4+p^2))>(4-p)/(根号(p^2-8p+32))
画图，显然0(p^2+4)/(p^2-8p+32)

p^2*(p^2-8p+32)>(p^2+4)*(4-p)^2

p^4-8p^3+32p^2>(p^2+4)*(p^2-8p+16)=p^4-8p^3+20p^2-32p+64

12p^2+32p-64>0

3p^2+8p-16>0

(3p-4)(p+4)>0

所以导数在p>4/3时大于0，PA+PO在p=4/3时最小
PA+PO=根号（16+64/9）+根号（4+16/9)=（根号（16*9+64）+根号52）/3=2*根号13
另外，计算可得p=0时PA+PO导数小于0，p=4时导数大于0，所以都会比上者大
故答案为2*根号13

不好意思，刚才是脑力活动
作O在准线另外一边的对称点B(4,0)，则OP=BP，当APB三点共线时，PA+PB=PA+PO最小
计算可得同样结果

意即PA和PO对准线的夹角一样时，PA+PO最小，这也是个广泛的结论