Question

已知:如图,直线y=-√3x+4√3与x轴相交于点A,与直线y=√3x相交于点B。

（1）求点B的坐标，并判断△AOB的形状；
（2）动点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→B→A的路线向点A匀速运动（P不与点O、A重合），过点P分别作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F。设运动t秒时，矩形EPFO与△OAB重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式。
（3）当t为何值时，S最大，其最大值为多少？

本人初三党，请用初中知识解答

Answer 1

（1）A(4,0)，B(2,2根号3)，根据两点间距离公式，
OB=根号（12+4）=4，AB=根号（12+4）=4
∴OB=AB=AO，即△ABO为等边三角形；
（2）当P在OB上时，即0<t≤4，
OP=t,OE=t/2,PE=根号3×t/2;
S=根号3t^2/8
当P在AB上时，即4<t<8，
S=(3根号3/8)×t^2+4根号3×t-8根号3
（3）当0<t≤4时，Smax=2根号3
当4<t<8时，S=3根号3/8×(t-16/3)^2+8根号3
当t=16/3时，Smax=8根号3
综上，最大值为8根号3

Answer 2

（1）直线 y=-√3x+4√3，y=√3x/3；将后者代入前一方程中：√3x/3=-√3x+4√3；
解得 x=3，y=√3；所以交点P(3,√3)；
（2）A点坐标(4,0)，∴ S△OPA=4*√3/2=2√3；
（3）若 0≤x≤3，则 S=a*(√3*a/3)/2=√3a²/6；
若3<x≤4，则 S=2√3-(4-a)*[(4-a)√3]/2=√3(4-a)²/2；