Question

平面直角坐标系xoy中，边长为3的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上。现将正方形OABC绕点o

平面直角坐标系xoy中，边长为3的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上。现将正方形OABC绕点o顺时针旋转（旋转角度a),当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N。
平面直角坐标系xoy中，边长为3的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上。现将正方形OABC绕点o顺时针旋转（旋转角度a),当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N。

（1)求当a=15°时线段AM的长和点M的坐标
（2）在旋转过程中是否存在有个位置，使得AC平行MN？若存在，请求出旋转角a的度数；若不存在，请说明理由。
（3）设三角形MBN的周长为p，则在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论。

Answer 1

（1)求当a=15°时 角AOM=30°，设AM=x，直角三角形OAM中有x^2+3^2=4x^2，解得x=根号3.
（2）存在，a=22.5°
（3）p=两倍边长即为6

在MN上取点K使得OK垂直于MN，现证明NK=NC，MK=MA即可
将三角形OAM沿y=x向内折，将三角形OCN沿x轴向内折，则两个直角三角形恰好填满大三角形OMN，即可得NK=NC，MK=MA，此时OC,OC重合于OK，NC，MA连成直线MN

追问

（1）。旋转角度a=15°
∠AOM=45-30=15°
又 ∵OAM=90°，AO=3
∴设AM=x，OM=2x
∴x2+9=4x2
∴x=根号3
∴AM=根号3，OM=2根号3
作MD⊥x
∴∠DOM=∠OMD=45°
∴OD=DM=根号6
∴M（根号6，根号6）