Question

已知数列{an}中,a1=1,a(n+1)=an/(2an+1)

(1)求证{1/an}为等差数列
(2)bn=an*a(n+1),数列{bn}的前n项和为Sn,求满足Sn>1005/2012的最小正整数n

Answer 1

①证明：A(n+1)+1=2An+1+1
A(n+1)+1=2An+2
（A(n+1)+1）/（An+1）=2
所以{An+1}是等比数列
所以{2An+2}是等比数列
②{An+1}是首项为2公比为2的等比数列，An+1=2^n
所以An=2^n-1
③Sn=2(1-2^n)/(1-2)-n=2^(n+1)-2-n

Answer 2

1.
证：
a(n+1)=an/(2an+1)
1/a(n+1)=(2an+1)/an=1/an +2
1/a(n+1)-1/an=2，为定值。
1/a1=1/1=1，数列{1/an}是以1为首项，2为公差的等差数列。
2.
1/an=1+2(n-1)=2n-1
an=1/(2n-1)
bn=ana(n+1)=[1/(2n-1)][1/(2n+1)]=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Sn=b1+b2+...+bn
=(1/2)[1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
Sn>1005/2012
n/(2n+1)>1005/2012
2n>1005
n>502.5，又n为正整数，n≥503，n的最小值是503。