Question

已知向量a=(cosa,sina),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0) 求

已知向量a=(cosa,sina),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0)。（Ⅰ）求向量b+c的长度的最大值；（Ⅱ）设a=π/4，且a⊥(b+c)，求cosβ的值。

Answer 1

向量b+c=cosβ-1+sinβ=2^0.5(sinβ+π/4)-1,则最大值为2^0.5-1a⊥(b+c)，则cosa*（cosβ-1）+sina*sinβ=0，所以cosa*cosβ+sina*sinβ=1 由和角公式得cos（a-β)=1所以cos（π/4-β)=1 π/4-β=0（应为2kπ,k为整数） β=π/4，cosβ=2^0.5

Answer 2

向量b+c=(cosβ-1,sinβ) |b+c|^2=√（cosβ-1）^2+sin^2β=√2-cosβ 所以当cosβ=-1时值最大 为2

Answer 3

向量b+c=cosβ-1+sinβ=2^0.5(sinβ+π/4)-1,则最大值为2^0.5-1a⊥(b+c)，则cosa*（cosβ-1）+sina*sinβ=0，所以cosa*cosβ+sina*sinβ=1
由和角公式得cos（a-β)=1所以cos（π/4-β)=1
π/4-β=0（应为2kπ,k为整数）
β=π/4，cosβ=2^0.5