Question

已知x>0y>0,且1/x+9/y=1,求x+y的最小值

方法一：1/x+9/y≧2√9/xy=6/√xy 1≧6/√xy √xy≧6 x+y≧2√xy=2×6=12
方法二：﹙x＋y﹚﹙1/x+9/y﹚=1+9x/y+y/x+9≥10+2√9x/y·y/x=10+2×3=16
为什么两种方法结果不一样

Answer 1

解答：
因为方法一是错误的。
方法一：1/x+9/y≧2√9/xy=6/√xy 等号成立条件是1/x=9/y ①
1≧6/√xy
√xy≧6
x+y≧2√xy=2×6=12 等号成立条件是x=y ②
∵ ①②不能同时成立
∴ x+y不能等于12
方法二：﹙x＋y﹚﹙1/x+9/y﹚=1+9x/y+y/x+9≥10+2√9x/y·y/x=10+2×3=16
等号成立条件是9x/y=y/x, 即x=4,y=12。
∴ x+y的最小值是16

Answer 2

方法二正确

方法一用到了两次基本不等式 但是并不是同时取到
1/x+9/y≧2√9/xy=6/√xy
1/x=9/y时取到
x+y≧2√xy=2×6=12
x=y时取到