Question

求下列幂级数的和函数

∑（n从1到无穷大）x^2n-1/2n-1
请具体说明（尤其是收敛域的求法），谢谢

Answer 1

我只说方法了，这里面打公式太麻烦了
收敛域的求法：将上式提出一个1/x , 并令t=x²，原式变为t^n/(2n-1)
这样的话an=1/(2n-1)。lim（n趋于无穷）a（n+1）/a(n)=1
且x=1时原式发散，x=-1时收敛。所以收敛域的范围[-1,1）
和函数的求法：将上式逐项求导。原式变为x^(2n-2) 。再用等比数列求和公式求出结果后在积分就可以得到和函数了。
这纯粹是我个人的方法，正确性有待验证，只希望对你有所帮助

Answer 2

令
S(x) = ∑（n=1~inf.）x^(2n-1)/(2n-1)，
求导，得
S'(x) = ∑（n=1~inf.）x^(2n-2)，
可以求和了吧？
……
收敛域D = [-1,1)。