Question

求详细解答过程

Answer 1

【此结论有点武断，因为f'[2x/(1+x²)²]的符号不清楚。∴f'(x)>0还需要做进一步的论证】

为此将x=1/4，1/2，3/4依次代入f[2x/(1+x²)]=2f(x)的两端，得：

f(8/17)=2f(1/4)；f(4/5)=2f(1/2)；f(24/25)=2f(3/4)；

由此可知：f(x)在区间(0，1)内是增函数，故必有(C).

上述结论的一般性证明：

∵0<x<1；∴ 0<1+x²<2，于是2x/(1+x²)>x；即x<2x/(1+x²)；而f(x)=(1/2)f[2x/(1+x²)]，

也就是在区间(0，1)内f(x)是增函数，即满足C；故应选C。

Answer 2

A 说明函数无上界，
B 说明函数有上界，
C 说明函数单调递增，
D 说明函数单调递减。
由于 0＜x＜1，所以 1＋x²＜2，
因此 2x/(1＋x²)＞x，
当 x 密布区间 (0，1) 时，
2x/(1＋x²) 也密布区间(0，1)，
并且总在 x 的右侧，函数值是 x 处的 2 倍，
由于 f(x) 恒为正，所以函数无上界，且单调递增。
选 AC

追答

应该选 C，A 不对。比如函数 f(x)＝arctan(x) 。