Question

大学高数题，求大佬教一下

图片的第四题，大佬能用拉格朗日乘数解一下吗，额，我知道有其他的解法，我是想用这题来巩固一下拉格朗日乘数。

Answer 1

空间点(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)
设旋转抛物面z=x^2+y^2上的点为(x,y,z),则到平面x+y+z-1=0的距离为
d(x,y,z)=|x+y+z-1|/√3
令f(x,y,z)=d^2(x,y,z)=(x+y+z-1)^2/3,g(x,y,z)=z-(x^2+y^2)=0
则相当于求f(x)在约束条件g(x)=0下的极值
用拉格朗日乘数法,构造函数F(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)
分别对x,y,z,λ求导,并取导数为0,可得
dF/dx=2/3*(x+y+z-1)-λ*2x=0
dF/dy=2/3*(x+y+z-1)-λ*2y=0
dF/dz=2/3*(x+y+z-1)-λ=0
dF/dλ=z-(x^2+y^2)=0
联立上述方程,可解得
λ=-1,x=-1/2,y=-1/2,z=1/2
λ=2,x=1,y=1,z=2
代入距离公式可得
d(-1/2,-1/2,1/2)=|-1/2-1/2+1/2-1|/√3=√3/2
d(1,1,2)=|1+1+2-1|/√3=√3
∴抛物面上的点到平面的最短距离为√3/2