Question

线性代数中相似问题，谁能解答

怎么判断A,B两个矩阵想似啊？
除了
P-1AP=B， →A~B
和
A~Λ,B~Λ, →A~B
还有没有别的办法呢？下图什么意思





Answer 1

对于一般的方阵
只有满足这样的式子才是相似的
而如果AB两个方阵都是对称方阵的话
那么就求出二者的特征值
只要特征值都是对应相等的
A和B就是相似矩阵

Answer 2

关于矩阵的相似问题，在通常的工程线性代数中一般都没有介绍两个矩阵相似的充分必要条件。（除了定义以外）。
如果要了解这方面的知识，可参考北京大学的教材《高等代数》第八章。
其中一个关于矩阵相似的充要条件是：
两个n阶矩阵相似的充要条件是它们有相同的不变因子。
对于本题中给出的矩阵A,B,C，其中矩阵A，B的三个不变因子都是
d1(入)=1，d2(入)=入-1，
d3(入)=(入-1)^3
所以矩阵A与B相似。
而矩阵C的三个不变因子分别是
d1(入)=1，d2(入)=1
d3(入)=(入-1)^3
与矩阵A，B的不全相等，所以与矩阵A，B不相似。
你给的书上的解答实际上跳过了一些基础理论。它用到的理论依据是：
矩阵A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵
入E-A与入E-B等价。
基于这个理论，那么对于两个矩阵的所有相同特征值，其对应的特征矩阵要等价。
而等价的矩阵有相同的秩，所以如果秩不相等，就不等价，当然就不相似了。

追问

非常感谢

Answer 3

特征值相等，也可以

追问

这个是必要条件吧

Answer 4

特性如下：
|A|=|B| 矩阵相似行列式的结果相等，但根据行列式结果相等无法推导出矩阵相似。
R(A)=R(B) 矩阵相似行列式秩相等，但矩阵秩相等无法推导出矩阵相似。

| λ E-A|=| λ E-B| 特征值相等（这个很重要）
可逆推：

A有n个线性无关的特征向量；
A的i重特征值λ，有i个线性无关的特征向量，既n-R(λE-A)=i

追问

A有n个线性无关的特征向量；
A的i重特征值λ，有i个线性无关的特征向量，既n-R(λE-A)=i
这个不是判断能否相似对角化的吗？
但它这个i≠n-R(λE-A或B)，不明白他这个特征值相等和它求得R(λE-A)=R(λE-B)这两个条件，怎么一揉杂推出来相似，也想过用定义，但是定义太慢了

追答

网页链接看一下就明白了